이차함수 최대최소 | 중3 수학 | 홈런중등

안녕하세요 중학교 3학년 여러분,
아이스크림 홈런입니다.

이번 시간에는 중3 수학에서 다루는 '이차함수 최대최소'에 대해 알아보도록 하겠습니다.

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우선, 이차함수가 무엇인지 복습해볼까요?
 

이차함수 개념 알아보기

이차함수는 일반적으로 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있습니다.


여기서 a,b,c는 상수이고, x는 변수입니다.
이차함수의 그래프는 포물선 모양을 갖고 있습니다.

a의 값에 따라 포물선의 방향이 결정되는데요,
a의 값이 양수일 땐 (a>0) 포물선이 아래로, 음수일 땐 (a<0) 포물선이 위로 향하게 됩니다.

이차함수의 중요한 개념 중 하나는 꼭지점이며, 꼭지점의 x좌표는 다음과 같이 계산됩니다.

이로써 얻은 x값을 이차함수에 대입하여 꼭짓점의 y좌표를 구할 수 있습니다.
이렇게 얻은 꼭짓점은 포물선의 최소값 또는 최대값을 나타냅니다.

이차함수의 그래프는 대칭성을 갖는데요!
즉, 꼭짓점을 중심으로 좌우 대칭을 이룹니다.

따라서 꼭짓점에서의 최소값 또는 최대값을 찾는 것은 그래프의 특성을 이해하는 데 도움이 됩니다.

 

이차함수 판별식 알아보기

이차함수의 또 다른 중요한 특징은 판별식이라 불리는 b2-4ac 입니다.

판별식의 값에 따라 이차방정식의 근의 개수와 성질을 알 수 있습니다.

1. 판별식이 양수일 때  이차함수는 실수 해를 두개 갖으며, 그래프는 x축과 두 번 교체합니다.
2. 판별식이 0일 때  이차함수는 중근을 가지며, 그래프는 x축에 닿아 있습니다.
3. 판별식이 음수일 때, 이차함수는 실수 해를 가지지 않으며, 그래프는 x축에 교차하지 않고 위나 아래로 향합니다.

이차함수의 개념과 최소, 최대값에 대해 살펴보았는데요!
이차함수의 최소값 또는 최대값을 구하는 과정도 추가적으로 알아보겠습니다.
 

공식을 통해 최소값 또는 최대값 구하는 과정

1. 이차함수를 표준형으로 나타냅니다. (즉, f(x) = ax2 + bx + c 형태로 만듭니다.)
2. 위에서 언급한 x = -b/2a 공식을 사용하여 꼭짓점의 x좌표를 구합니다.
3. 이렇게 얻은 x값을 이차함수에 대입하여 f(x)를 계산하여 최소값 또는 최대값을 찾습니다.

이차함수의 최대와 최소를 찾는 과정을 통해, 포물선 모양의 그래프에서 어떻게 꼭짓점을 활용하여
최소값 또는 최대값을 구할 수 있는지 이해했습니다.
또한 판별식을 활용하여 이차함수의 근의 개수와 성질을 파악하는 방법도 살펴보았는데요!

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