안녕하세요. 아이스크림 홈런입니다.
이번 시간에는 중학교 1학년 수학 결합법칙에 대해 함께 공부하고자 합니다.
교환법칙이 두 수를 대상으로 한다면 결합법칙은 3개의 숫자에 대해서 적용됩니다.
앞의 둘을 계산하고 마지막을 계산한 값과 뒤의 둘을 계산하고 앞쪽을 계산한 값이 같을 때 성립합니다.
덧셈과 곱셈을 예를 들어 설명하자면, a + b + c에서 a + b를 하고 c를 더한 값과 a에 b + c를 더한 값과 똑같습니다.
수학적 정의에서 보면 집합 S에서의 임의의 두 원소 a, b, c가 있고 거기서 정의된 연산 x가 ( a x b ) x c = a x ( b x c )를 만족하면 x에 대해 결합법칙이 성립한다고 합니다.
좀 더 쉽게 설명해 볼까요?
가로가 3, 세로가 4, 높이가 5인 상자가 있다고 가정해 봅시다.
가로와 세로의 길이를 먼저 곱하고, 높이를 곱하나 세로와 높이를 먼저 곱하고 가로를 곱해도 이 상자의 길이는 일정합니다.
이와 같이 순서를 바꿔서 계산해도 답이 같은 것을 결합법칙이라고 합니다.
곱셈과 마찬가지로 덧셈에서도 이 결합법칙은 동일하게 성립됩니다.
예를 들어 정수 1 + 2 + 4를 계산할 때 1과 2를 먼저 더한 후에 4를 더해서 3 + 4 = 7로 계산하는 경우와 2 + 4를 먼저 계산하고 1을 더해서 1 + 6 = 7로 계산하는 경우에
어떻게 계산하더라도 결과는 7이 됩니다.
식으로 나타내면 괄호를 먼저 씌우고 먼저 계산한다는 의미인데요. ( 1 + 2 ) + 4 = 1 + ( 2 + 4 )라고 할 수 있습니다. 자연스럽게 계산된 과정인데 이것을 덧셈의 결합법칙이라고 하는거죠.
덧셈에 대해서 성립하므로 덧셈은 결합법칙이 성립합니다.
2 + 4 + 6의 수를 더할다고 할 때 2 + 4를 먼저 더하면 6이고 6과 6을 더하면 12가 나오죠. 그런데 4와 2를 먼저 더한 후 ( 4 + 2 ) + 6을 더해도 12가 나옵니다. 먼저 계산하는 부분을 괄호 ( )로 묶어서 표현하면 ( 2 + 4 ) + 6 = 2 + ( 4 + 6 )이라는 것입니다.
자! 이제 좀 더 난이도 있는 결합법칙의 문제를 풀어볼까요?
{ ( -2 ) x ( +3 ) } x ( -4 ) = ( -6) x ( -4 ) = 24 세 수의 곱셈 중 앞의 두 수를 먼저 계산하는 경우는 위와 같이 풀 수 있습니다.
반대로 세 수의 곱셈 중 뒤의 두 수를 먼저 계산하는 경우에는 결합법칙을 이용하여, ( -2 ) x { ( +3 ) x ( -4 ) } = ( -2 ) x ( -12 ) = 24와 동일한 결과값임을 알 수 있죠.
이처럼 확인해 본 바와 같이 덧셈과 곱셈은 마찬가지로 결합법칙이 성립된다는 것을 알 수 있습니다.
따라서 덧셈과 마찬가지로, 곱셈식에서도 계산이 편한 순서로 식의 계산 순서를 바꿔서 계산해도 그 결과는 같습니다.
정리해보면 덧셈으로 이루어진 식과 곱셈으로만 이루어진 식에서 어느 두 수를 먼저 계산하더라도 그 결과가 같은 것을 결합법칙이라고 합니다.
어느 두 수를 먼저 더하더라도 결과가 같기 때문에 괄호를 사용하지 않고 나타낼 수도 있다는 것을 알아 두면 좋습니다.
결합법칙은 덧셈과 곱셈에서만 이루어지며 뺄셈과 나눗셈에서는 동일하게 성립하지 않습니다.
